n 阶矩阵相似对角化的充要条件

设有 n 阶矩阵 A，那么若 A 的每个特征值中，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数，则矩阵 A 必然可以相似对角化。例如，

三阶矩阵 A 可相似对角化 $⟺$ A 有三个特征向量。

即有：

P = [α_{1}, α_{2}, α_{3}], P^{- 1} A P = [\begin{matrix} λ_{1} \\ λ_{2} \\ λ_{3} \end{matrix}] ⟹ A = P [\begin{matrix} λ_{1} \\ λ_{2} \\ λ_{3} \end{matrix}] P^{- 1}

我们可以通过特征值，反解出 A 矩阵。

若三阶矩阵 A 有特征值 2,2,4，那么有其对应的特征向量也应该有三个，并且特征值 2 对应两个线性无关的特征值的定义可知， $A x = 2 x$ 有两个解，即 $(A - 2 E) x = 0$ 有两个线性无关的解。于是就要求该方程基础解系解向量的个数为 2，而个数 = A 的阶数 - $r (A - 2 E)$ 。

矩阵的相似。
对角矩阵。
矩阵的秩。